潘华志 耿则勋 郭和伟 马 军

　　摘要：本文在详细分析GAP统计模型理论与算法的基础上，得出其存在定位精度与抗噪能力难以兼顾的不足。本文将该模型引入到小波变换域，通过高频分量自动获取模型中所需的阈值，在低频分量中进行GAP统计模型的边缘检测算法，理论与实践证明，算法有效，边缘检测效果良好，解决了上述两难问题。
　　关键词：小波域，GAP统计模型，边缘检测

　　1、引言
　　边缘是图像中重要的特征，表现为图像局部特征的不连续性，即图像中灰度变化比较剧烈的地方。因此我们把边缘定义为图像中灰度急剧变化的区域边界。根据灰度变化的剧烈程度，通常将边缘划分为阶跃边缘(step edge)和屋顶边缘(roof edge)两种类型。边缘检测一般分为以下四个步骤：
　　1)图像滤波。边缘检测算法主要是基于图像灰度的一阶和二阶导数，但是导数的计算对噪声很敏感，因此必须使用滤波器来改善与噪声有关的边缘检测器的性能。
　　2)图形增强。增强边缘的基础是确定图像各点邻域强度的变化值。增强算法可以将邻域强度值有显著变化的点突出显示。
　　3)边缘检测。在图像中有许多点的梯度幅值比较大，而这些点在特定的应用领域中并不都是边缘，应该用某些方法来确定哪些是边缘点。最简单的边缘检测依据是梯度幅值阈值判断。
　　4)边缘定位。如果某一应用场合要求确定边缘位置，则边缘的位置可以在子像素分辨率上来估计，边缘的定位也可以被估计出来。
　　目前实际边缘检测中使用较多的是一些经典的边缘检测算子，如sobel算子、canny算子等。由于经典算子对噪声很敏感，见图1（Lena图像：噪声水平为 ），抗噪能力都很差，检测出的边缘不连续，都漏掉很明显的边缘(Lena图像左侧竖条)，且出现了大量的伪边缘，所以Prewitt首先提出了用曲面拟合法来做边缘检测。近年来，随着数学和人工智能的发展，又出现了一些新的边缘检测方法，如灰度GAP统计模型法、数学形态法、小波变换法、神经网络法、模糊检测法等等，这些算法都在力图最大程度地抑制噪声和多尺度地探测图像的特征边。

　　2、GAP统计模型算法
　　2000年，Ｔibshirani等人提出了称为“Gap statistic”(GS)的方法，该方法利用数据的统计规律通过数据的分布差别对数据进行最优聚类[3]。2005年黄陈蓉等人在分析分布间隙的本质和含义的基础上，提出了图像边缘检测的多尺度灰度Gap统计模型。在文献[5]一文中，黄陈蓉等人认为多尺度灰度Gap统计模型可以通过增加其尺度来消除噪声的影响。
　　其算法的一般流程是[5]：
　　1)遍历旋转角度[0,π),计算角度步长:
　　　　　　　　　　　　　　　　(1)
　　2)确定相对半领域序列：

　　　　　　N (kΔ α)，N(kΔ α + π ),k = 1 , 2 ,..., [π ／Δ α ]
　　3)将N(kΔα)， N(kΔα+π)， 内样本灰度分别排序得到两个顺序统计量(x1 , x2 ,...xn )， (y1 , y2 ,... yn )，n为样本容量。
　　4)计算               (2)
　　5)确定阈值T > 0。若满足Gap(x, y >T)且Gap(x, y) 为局部极值，则认为(x, y) 为近似边缘点。
　　3、Gap统计模型的不足与改进
　　通过实验和理论分析，作者认为Gap统计模型有其不足，即定位精度与抗噪能力不能同时兼顾。理论分析可知，边缘定位精度高，则要求Gap统计模型尺度小，而Gap统计模型尺度小，则会导致模型抗噪能力的降低。实际检测结果表明(见图2)，由于噪声的存在，导致小尺度下Gap统计模型的边缘检测能力大大下降，定位与抗噪两者不能兼顾。而在数字图像处理应用中，获取到的数字图像往往受到各种噪声的影响，如医学图像、天文图像，因此这种先天性不足会限制Gap统计模型的应用领域。另外在Gap统计模型中，阈值Ｔ的确定也是一件非常困难的事情。
　　本文在认真研究Gap统计模型理论的基础上，决定将该方法引入到图像小波变换域中进行。利用信号与噪声具有不同的Lipschitz指数性质，而Lipschitz指数又可以利用小波系数幅值进行估计的特点，本文从三个高频分量自动获取Gap模型中所需的阈值Ｔ，然后在低频分量中利用Gap统计模型算法进行边缘检测。这样做的好处是，一方面低频域进行图像处理，可以克服噪声的影响，而另一方面进行Ｔ模型进行边缘检测时，可以选择较小的尺度，从而可以得到较高的边缘定位精度。理论与实验结果证明，该方法能很好的解决Gap统计模型的定位精度与抗噪能力两难问题。

　　小波分析(Wavelet Analysis)是傅里叶分析发展史上里程碑式的进展，是当前最为活跃的应用研究领域之一，在诸如图像压缩、信号去噪等诸多图像处理领域得到了广泛应用。若令　代表图像函数f在分辨率　时的逼近，也就是f的粗糙像， 代表逼近的误差，也就是f的误差像，那么根据二维图像的多分辨率分析和Mallat算法，可以得到图像的小波分解：
        f0 = f1 + d 1 = f2 + d2 + d1 = ... = fN + d N + ... + d1  　　　　(3)
　　因为图像f经过小波分解后，fN 是经过平滑滤波后的低频部分，噪声的干扰与影响得到了抑制，而d j是经过高频滤波后的高频部分，图像的边缘信息都集中在这里，因此可从这部分自动确定GAP统计模型中的阈值T。而小波域阈值的选取，会影响到最终的边缘检测效果。目前有大量的文献提出了各种各样确定阈值的方法，其中主要有通用阈值法(universal method、极小化风险阈值法，假设检验法和BayesShrink阈值法等，本文主要采用的是Donoho和Johnstone在高斯噪声模型下，应用多维独立正态变量决策理论，得出的通用阈值法。
　　综上可得小波域内GAP统计模型的边缘检测算法如下：
　　1）给定输入图像信号ｆ，设定小波的最大分解级数为ｊ，对图像进行小波分解，根据二维图像的多分辨率分析和Mallat算法，可以得到一系列小波子图像fj和d j 。
　　2）估计图像的噪声水平:
　　　　　　　　δ = MAD / 0.6754　　　　　　　　(4)
　　MAD为分解后各层小波高频分量的绝对中值，计算三个高频分量的通用阈值:
　　　　　　　　　　　　　　　　　(5)
　　i = 1,2,3 ，ｎ为高频系数个数，取三个经验阈值的均值为GAP统计模型中所需的阈值:
　　　　　　　　　　　　　　　　(6)
　　3）给定检测尺度，对小波分解的低频分量按GAP统计模型算法进行边缘检测，并输出最终边缘检测结果。
　　4、实验结果比较与分析
　　图3为本次实验利用各种算法实现边缘检测，进行综合比较的结果。图3（a）为使用相同GAP模型尺度、小波基，不同小波分解层数的边缘检测结果，可以发现分解层数影响着阈值的自动获取，且随着层数的增加，检测效果将会变好，但理论分析可知，分解层数也不能无限的增加，一般分解到六层左右即可。图3（b）为选用相同GAP模型尺度、相同分解层数，不同小波基的检测结果，实验表明sym7小波基的检测效果最好，检测出的边缘结构好、伪边缘少。图3（c）为高噪声图像分别用canny算子、sobel算子、直接GAP模型检测和小波域GAP模型检测结果，检测结果表明，本文所提出的改进方法行之有效，抗噪能力显著提高。
　　综合比较图1、图2和图3可以发现，本文所提算法克服了噪声的影响，且所检测出的边缘相对常规算子，边缘结构保持好、伪边缘少，在小波域内实现降低了 模型的尺度，提高了定位精度的同时，也能极大的减少算法的时间代价。

　　5、结论

　　综上分析可知，在小波域内进行GAP模型边缘检测相对直接GAP模型边缘检测有以下几个特点：
　　1）图像首先经过平滑滤波，噪声一定程度上得到了抑制。
　　2）通过在高频区获取阈值信息。由于噪声能量随着小波分解层数的增加，其能量逐渐衰退，而边缘等特征信息却保持较好。
　　3）用GAP统计模型进行边缘检测，因为其最佳分类准则主要是依据数据分类目标函数与均匀分布目标函数值的差别（即间隙），在数据比较方面，以多方向、多尺度区域内灰度分布函数的差别作为判断边缘的准则，这同一般使用的梯度方法是有所不同的。
　　4）实验中像素是逐点操作的，对于边缘像素采用镜像复制的技巧，且结合使用了高频信息。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　参考文献
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