李真真    杜明辉

　　摘要：当前断层成像已经步入锥形束重构的3D时代，锥形束的投影轨道一直是实现重构的基础问题。本文基于新兴的R-line算法的特征对锥形束典型的投影轨道的重构区域及其离散化对重构精度的影响作了深入的研究，并推导了在R-line算法下锥形束重构投影轨道的相关定理。
　　关键词：锥形束重构;投影轨道；重构区域;R-line算法，计算机断层成像

　　1、引言
　　锥形束重构是当前三维计算机断层成像的研究热点。投影轨道的设计是构建优越的重构系统的基本问题。早在1983年H.K.Tuy就提出了锥形束重构领域中经典的轨道曲线必要条件（Tuy 条件），随后B.D.Smith建立了实现锥形束重构的充要条件，并给出了数学上的重构积分式。
　　实用轨道的探求一直是锥形束重构发展的基础，其性能与所采用的重构算法密不可分，螺旋形轨道因适用于传统的FDK近似重构算法苛刻的小锥角的要求而成为应用最为广泛的投影轨道，近年来，锥形束重构算法又有新的突破，Katsevich建立了一维希尔伯特变换与投影数据的关系，由J.D.Pack和Frederic Noo提出了R-line的重构算法（2004）。该算法实现了有限投影角度的精确重构，可广泛地拓展到除传统的螺旋轨道之外的多种轨道，这使其它典型轨道如鞍形，正交双圆等成为新的研究方向。
　　本文就是研究满足Tuy条件的轨道曲线在R-line算法下的重构性能。对相关的R-line算法作了简述，较为详尽地对正交双圆轨道、螺旋轨道以及鞍形轨道等典型轨道的重构区域问题作了研究，并分析了轨道离散化对重构精度的影响，最后将典型轨道扩展到一般的轨道曲线，给出了相关定理及其证明。
　　2、锥形束投影轨道及R-line算法
　　2.1　锥形束投影轨道
　　锥形束投影方式为由源点发出锥形束，探测接收获取投影矩阵，移动源点获取物体在各个角度上的投影g(Φ,θ)，即：

(1)

　　源点移动的轨迹是实轴上某间隔对三维实空间的映射，即：Φ:Λ→R3，Λ为实轴上某间隔，称为投影轨道。要想获取完备的投影集合实现物体的重构，这个轨道必须满足Tuy条件。
　　2.2  R-line算法及其特征
　　R-line的重构算法定义了对于某给定点重构算子：

‍

(2)

　　其中：，(λ1 < λ< λ2 ∈ Λ )< < < < 由投影g(Φ,θ)得到，对应投影方向，那么：对于R-line上的任意一点的密度函数有：

(3)

　　其中：  

　　所谓R-line是指连接源轨道上任意两点的直线段，R-line算法最大的特点也是最大的局限性就是只有R-line上的点是可以重构出来的。但问题在于并不是所有满足Tuy条件的源轨道都能提供一个完备的R-line集合的，因此需要考察投影轨道所构建的重构区域。
　　3、典型轨道的重构区域
　　3.1 正交双圆轨道
　　Tuy在其论文中提出的正交双圆轨道，结构简单并且具有几何上的强对称性，有着一定的应用潜力。考虑双圆半径不同的一般性情形，其轨道可以用向量形式定义为：

(5)

　　可重构的区域为轨道上任意两点的连线上所有的点构成的点集，记为X，如(6):

(6)

　　可见，X点集的生成由参数λ1，λ2,k控制，其中λ1使生成的点集为半径为kR1 的圆周，其圆心由λ2决定，k一定时,λ2连续取值，形成的圆心轨迹也是一个圆周，其半径为(1−k)R2。因此，k一定，随λ1，λ2取值生成的点在空间组成中空的类环状曲面，该曲面随k的连续取值填满正交双圆轨道的内部，即正交双圆轨道的重构区域（如图1所示）。‍

　　3.2 鞍形轨道
　　鞍形轨道是近来研究热点，Pack将其定义为两个曲面的交线:

　　其中：二阶连续可导，有

‍

　　Haiquan Yang给出了标准鞍形轨道的表达式及其生成的点集X如下(其尺寸参数记为)：

(7)

(8)

　　可见，X点集的生成由参数λ1，λ2 ，k控制，k一定，随λ1 ，λ2 取值生成的点在空间组成鞍形曲线构成宏观的鞍形，该曲面随k的连续取值填满鞍形轨道的内部，即鞍形轨道的重构区域（如图2所示）。

　　3.3 螺旋形轨道
　　应用最为广泛的锥形束轨道就是螺旋形态的，常见的为定半径螺旋形态，也有变半径的情形，为方便讨论，本文采用定半径螺旋形轨道，其表达式及相应的X点集为：

(9)

(10)

　　可见，螺旋形轨道构成点集的情形和鞍形轨道非常类似，其重构区域如图3所示。

　　4、离散化轨道的重构精度
　　实际系统中的源轨道的取值必须离散化，因此需要考查由于轨道离散化对重构区域内点的精度的影响。设采样间隔Δλ，分别考虑三种典型轨道在剖面上重构精度的变化。
　　离散化后的轨道，所重构的剖面是由一系列的点圆周构成的（如图4所示），剖面上重构误差分布不均匀，随着采样间隔的减小，重构点分布具有聚集性，这一特征使得分布密度低的区域上获取高精度的代价远大于高密度分布的区域。这是考查重构性能时需要特别关注的。

　　5、R-line算法的适用轨道
　　如前文所述,在R-line算法下，典型轨道显现出各自的特性与一定的共性，都可以生成较大的3D重构区域，但是并不是所有满足Tuy条件的源轨道都可以在R-line算法下构造出3D的重构区域，那么，为了进一步探求性能优越适合R-line算法的新轨道，需要研究的一个基础问题就是确立能够重构出3D区域的轨道曲线的全集。
　　即：设距离空间(R3 , d2)上给定一个有界闭集Ω，且有Ω −∂Ω为开子集。R3空间上一条曲线Φ(λ)，满足Tuy’s 条件，曲线上可以表达为：

(11)

　　那么，怎样的轨道曲线Φ，必定存在可重构区域Ω，使其生成的点集X在Ω上稠密？
　　对此问题，本文给出如下两个定理：
　　定理1：由多面棱锥体的共顶点的棱边构成的轨道可满足Tuy条件，但采用R-line算法，不构成重构区域。
　　证明：设某棱锥体，选取顶点A发出的n条棱边构成轨道Φ,两两棱边确定的平面组成的集合记为M。若该多面棱锥体完全包含所需重构的物体，在锥形束锥角足够大的情形下，显然满足Tuy条件。另一方面，由轨道Φ生成的点集X(由(11)定义)，显然有X ⊂M。假设存在距离空间(R3 , d2)上某一有界闭集Ω，使得X在其上稠密，即存在任意小ε > 0，对于任意y ∈ Ω存在x ∈ X有d(x,y) < ε,< < 但X ⊂M，在Ω上总有点y∈Ωand y ∉M，则

,与稠密定义矛盾，因此，不存在有界闭集Ω，使得X在其上稠密，即不存在重构区域。
　　定理2：不在同一平面上的曲线（或曲线组）满足Tuy条件，采用R-line算法，可构成重构区域。
　　证明：设不在同一平面上的满足Tuy条件的某条曲线Φ(λ)或曲线组{Φ =i , 1, 2, ...i }，总存在两个集合和使得对应的Φ(λ1)和Φ(λ2)不在同一平面上。因此，给定某个λ2，取遍，得到点集X的子集为某个曲面（平面）或曲线组:

　　且 。

　　由Φ(λ)的连续性，可知沿轨道Φ(λ2) 的连续取值，ς(λ2)在距离空间中连续变化，形成有界闭集Ω。存在任意小ε > 0 ，对于Ω上任意点y ∈ Ω都存在某个，使得：,其中由y与ς(λ2)构成曲面与Φ(λ2)的交点确定。即：满足Tuy条件的不在同一平面上的曲线（或曲线组)Φ，存在距离空间上有界闭集Ω，使得Φ生成的点集X在其上稠密。
　　6、结论与讨论
　　投影轨道的研究是锥形束重构领域的基本问题。基于最新的R-line算法，本文对典型的投影轨道做了较为详尽的分析，首先解析了参数对空间中生成点集的控制作用，这对今后研究局部重构(如ROI)是非常基础的一步；同时指出了轨道离散化后的重构点具有分布不均匀的特征，图示说明了采样率的变化时重构区域剖面上重构点的非均匀变化，这是研究实用系统的重构精度的一个重要方面。并从典型轨道推广至适用于R-line算法的一般性轨道曲线，提出了相关的两个定理，并给出了证明。但未能给出适用轨道全体集合的确界，这也是今后研究的一个课题。综上，本文对进一步发展R-line算法、探寻重构性能优越的新轨道以及优化锥形束CT系统是很有意义的。

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