摘  要：通过数据库中的CT图像重建出股骨的三维模型，然后以股骨上的生理标志点作为控制点，采用kriging 插值算法对股骨模型变形，使之与手术中真实股骨的形状相匹配。该方法可以较好地用于机器人辅助全膝关节置换术的可视化界面。

   关键词：三维重建；变形；kriging 插值；可视化

1  引  言

   CT图像三维重建在机器人辅助外科手术中有着重要的应用。在基于CT建模的手术系统中，手术前获取病人的CT图像进行重建，重建的模型用于指导手术计划。随着MIS手术理念的提出，出现了无CT建模的手术导航系统，在这些系统中，仍然需要通过CT重建实现手术的可视化。

   本文在无CT建模的机器人辅助全膝关节置换术的平台上，实现了股骨模型的可视化。本文的创新如下：1）在股骨模型重建过程中，采用了一种新的轮廓拼接方法处理股骨远端轮廓曲线分支的情况；2）在股骨模型变型中对kriging 插值算法作了改进。

2  由CT图像重建三维模型

   本文的CT图像来自于医学图像数据库。在重建之前先采用基于GVF的snake分割算法对股骨的CT图像进行分割[1]。

   采用轮廓拼接方法[2]进行股骨模型的三维重建，对股骨远端出现分支曲线的情况，本文提出了一种新的处理方法。

2.1  CT图像轮廓抽取

   轮廓曲线的参数化即按某一指定的方向（如顺时针）遍历轮廓曲线，得到曲线上的每一个点的位置[2]。首先需要指定起始点与遍历方向。在参数化的过程中，设P(i)为第i个轮廓点的位置，则下一个点的位置P(i+1)满足：a) P(i+1)∈V8(P(i)),V8表示8连通临域；b) P(i+1)￠{P(m)|m=1…i}。

   初始点的选择方法如下：对每一个分割后的CT切片，计算轮廓曲线在x方向的中心位置xcen，初始点的位置(x,y)满足：x=xcen, y=min(yi)&(xcen,yi) ∈contour。经过参数化后得到轮廓曲线上的点的位置P(i)(i=1…N)，N为点的个数。

   对于股骨远端出现两段不连通的闭合轮廓曲线的情况，可以分别计算两段曲线的中心位置，再用上面的方法确定初始点并进行参数化。分别记录两段曲线参数化后的点P1(i) (i=1…N1),P2(j) (j=1…N2), N1、N2分别为两段曲线的点的个数。

2.2  轮廓拼接

   在相邻两切片之间重建三维表面的第一步是将两条轮廓曲线的初始点相连，2.1中的初始点的选择方法保证了相邻切片的初始点在图像上的位置相近。接下来，每次用三个条件来决定如何连接轮廓点生成下一个三角面片[2]。

   对于股骨远端轮廓曲线分支的情况，在重建的时候比较复杂。本文采取的方法受到[3]的启发。将股骨的CT切片按照从股骨头到股骨远端的顺序标号，记为slice1,slice2,…。假设从slice k开始轮廓曲线分成两段，且slice1到slice(k-1)的轮廓拼接已完成。接下来的步骤如下：

   (1)在slice k中的两段闭合曲线（记为P1(i)，P2(j)）上找距离最近的两点P1(i0),P2(j0)。将P1(i0),P2(j0)分别作为两段曲线的起始点，按照原来参数化的方向（如顺时针）对曲线上的点重新排序。

   (2)如图1，连接P1(i0),P2(j0)，将线段投影到slice(k-1)上得（在图上未标出）。分别过和做的垂线L1，L2，求出L1，L2与slice(k-1)上的轮廓曲线P0(i)的交点P0(i1)~P0(i4)（图1标出的）。

   (3)用2.1的方法求出线段，的参数化点，则slice(k-1)上的曲线P0(i)分成了两段闭合的参数化曲线P01(i)，P02(i)和两个曲线段，，如图1。在P0(i1)，P0(i2)中选择与距离较近的一点，作为曲线P01(i)的起始点，按照本节开始介绍的最小表面法连接P01(i)与P1(i)组成三角面片，用同样的方法连接P02(i)与P2(i)。

   (4)令P0(i1)，P0(i2)分别为两个曲线段的起始点，按照最小表面法连接两曲线段上的点，形成slice k-1平面内的三角网格,如图2。

图1相邻两切片的轮廓曲线

图2  slice (k-1)平面内的三角网格

采用Taubin平滑方法[2]对模型表面进行平滑。平滑后的模型如图5(a)。        

3  股骨坐标系的建立

   本文中的机器人辅助外科手术系统采用了[4]中的股骨定位技术，即首先计算股骨头中心，再根据股骨的生理标志点建立股骨坐标系。股骨远端存在生理标志点，如图3所示，分别为股骨远端内髁最明显处(condylar medialis)，股骨远端外髁最明显处(condylar lateralis)，股骨远端内髁最高点(epicondylar medialis)，股骨远端外髁最高点(epicondylar lateralis)以及髁间窝中心(intercondylar fossa)。.建立股骨坐标系的方法参见[4]，建立好的股骨坐标系如图4。为了与手术中的坐标系保持一致，本文在股骨模型上建立了相同的股骨坐标系。

图3  图像坐标系与股骨的生理标志点

图4  股骨坐标系的建立

   股骨模型的初始坐标系是在CT重建时确立的，即X轴, Y轴的方向与CT图像的轴, 轴方向相同，轴方向垂直于CT切片。坐标系的原点在髁间窝中心，在2.1的步骤1)中，将P1(i0),P2(j0)两点中y值较小的一点作为髁间窝中心，其中y为CT图像坐标的值。然后在髁间窝中心x坐标的两侧，分别将z值最小的一点作为内髁最明显处和外髁最明显处，其中x，z为股骨模型的初始坐标系的值。将股骨头近似为一个球，通过股骨头表面的点确定球心的位置。在股骨模型的初始坐标系中，设x值最小的一点为p1(x1,y1,z1)，在p1所在的CT切片上，也就是z=z1的所有的点中，找x值最大的一点p2(x2,y2,z1)，则p2近似位于p1所在的大圆上，并且p1，p2与股骨头中心三点近似位于同一直线上。因此股骨头中心为p1，p2的中点((x1+x2)/2, (y1+y2)/2, z1)。

4 股骨模型变形

   2.2中重建的股骨模型是一个通用模型，因此，针对不同的病人，需要对股骨模型进行变形，使之手术中的股骨相匹配。

4.1  kriging插值法变形

   本文采用改进的kriging方法对股骨模型进行变形。Kriging方法最初由Krige提出，用于土壤性质空间分布的估计。[5]中采用kriging方法进行脊椎骨的变形。下面简要介绍一下它的基本思想。

   在三维模型中，设第j个控制点变形后的坐标为，这个控制点在未变形的模型中的坐标为

   为保证式（8）有唯一解，控制点的最少个数为4个[5]。本文采用股骨的生理标志点作为股骨模型的控制点。在手术中需要测量4个股骨表面生理标志点的位置，分别为股骨远端内髁最明显处，股骨远端外髁最明显处，股骨远端内髁最高点，股骨远端外髁最高点。由于这4个点的实际位置均由医生的经验确定，因此他们与模型点的对应关系必然存在误差。为了减少误差的影响，本文采用的改进方法[6]如下：

   其中I是单位矩阵，是归一化参数。调节了仿射变换和弹性变形的权重，随着的增大，弹性变形所占的比重越小。

   求出参数a,b后，再将它们代回到（3），求出模型上所有点变形后的位置。      

4.2  实验结果

   用石膏股骨模型做实验，点取4个生理标志点并用[4]中的方法计算股骨头中心，转换到股骨坐标系下的坐标值如表1：

表1  生理标志点在股骨坐标系下的坐标

   用Visual C++和OpenGL实现本文的方法，取=0.2，c=0.01。图5（a）为通用股骨模型，图5（b）为变形之后的模型。

5  结  论

   本文实现了机器人辅助全膝关节置换术中股骨模型的可视化。通过数据库中的CT图像重建出股骨的三维模型，然后以股骨上的生理标志点作为控制点，采用kriging 插值算法对股骨模型变形，使之与手术中真实股骨的形状相匹配。

   本文的方法不仅可以用于股骨模型的可视化，还可以应用到其他手术部位的三维重建与变形。

参 考 文 献

[1]Xu Chenyang, Jerry L, Prince. Snakes, Shapes, and Gradient Vector Flow. IEEE Transactions on Image Processing, 1998, 7(3): 359-369

[2]Alexandra Branzan Albu, Denis Laurendeau, Luc J. Hébert et al. Three-Dimensional Reconstruction of the Bony Structures involved in the Articular Complex of the Human Shoulder Using Shaped-Based Interpolation and Contour-Based Extrapolation.  Proceedings of the 4th International Conference on 3D Digital Imaging and Modeling, 2003,Canada:370-377,

[3]Sheng-hui LIAO, Ruo-feng TONG, Jin-xiang DONG. 3D Human Mandible Reconstruction from CT Data.  Proceedings of The 8th International Conference on Computer Supported Cooperative Work in Design, 2004, Xiamen, China:487-492,

[4]赵子健，吴晓娟，刘允才. 机器人辅助全膝关节置换术中的股骨定位技术. 医疗卫生装备，2005，26（10）：16-17，20

[5]S. Delorme, Y. Petit1, J.A. de Guise, et al. Three-Dimensional Modeling and Rendering of the Human Skeletal Trunk from 2D Radiographic Images. 2nd International Conference on 3-D Digital Imaging and Modeling , Ottawa, Canada，1999: 497-505

[6]J. Müller, A. Mang and T. M. Buzug. A Template-Deformation Method for Facial Reproduction. Proceedings of the 4th International Symposium on Image and Signal Processing and Analysis, Zagreb, Croatia , Sept 15-17, 2005:359-364